Conforme tivemos oportunidade de referir, ainda que brevemente, no último post, a ideia de formalizar um função psicofísica – em que intensidades objectivas e subjectivas são relacionadas matematicamente – é, a rigor, anterior à fundação da própria psicofísica. E, curiosamente, também o é a polémica entre a forma logarítmica e de potência dessa mesma função. Com efeito, as primeiras concepções a este respeito remontam ao conceito de utilidade subjectiva, cunhado por Daniel Bernoulli no século XVIII.
Esta ainda não será a oportunidade adequada para nos embrenharmos nas áreas, teorias e fundamentos acerca da decisão humana. Mas, por forma a facilitar a exposição de ideias, valerá a pena referir que o estudo dos processos de decisão humana preocupam os teóricos desde há vários séculos, com particular destaque para a sua relação com as actividades lúdicas de risco, leia-se, os “jogos de azar” que tantos pensadores parece ter atraído (um pequeno aparte, a vulgar sanduíche deve o seu nome a Earl de Sandwich que, tanto quanto se sabe, inventa essa refeição para poder alimentar-se sem deixar a mesa de jogo, qual entusiasta jogador). Há já algum tempo antes que Blaise Pascal havia constatado que o “valor” de um jogo equivaleria, obviamente, ao seu ganho esperado ou, para introduzir a terminologia adequada, a sua “utilidade esperada”. Isto é, assuma o leitor que pretende entrar num qualquer jogo em que, digamos, por jogada tem 10% de probabilidade de ganhar €20. Assuma que, por momentos esta seria a sua actividade para o resto da eternidade e que, portanto, se dedicaria a este simples jogo durante um tempo infinito. Qual seria a média dos ganhos que obteria? Sem entrar em pormenores, bastará de momento notar que 10% de €20 é €2 (0.1×20=2), ou seja, €2 seria essa média e, logo, a utilidade esperada deste jogo. Para ir um pouco mais longe, um jogador “racional” não deveria estar disposto a apostar mais de €2 euros para jogar este jogo e, mais que isso, ser-lhe-ia indiferente o resultado do jogo caso apostasse, de facto, esse valor (um pequeno exercício: sabendo que a probabilidade de cerca de, com uma aposta, acertar nos 6 números sorteados do totoloto é de (10×10^-11), e assumindo que o primeiro prémio é de €900000, a utilidade esperada é de cerca de €(9×10^-5). Note que uma grande percentagem de portugueses está disposta a apostar €0.8 para participar no jogo. Obviamente que a entidade organizadora deseja ter uma margem de lucro, mas esse não foi o objectivo deste aparte).
Posto isto, voltemos então a Bernoulli, mais conhecido pelo seu Paradoxo de São-Petersburgo (por ter sido apresentado numa comunicação nessa cidade): Imagine o leitor que lhe propomos o seguinte jogo – uma moeda corrente de €1 é lançada sucessivamente ao ar, podendo o resultado do lançamento ser Face (F; esta nomenclatura permitir-nos-á evitar o termo “Cara” e, logo, repetir a letra C) ou Coroa (C); os lançamentos serão repetidos até que saia, pela primeira vez F, altura na qual contaremos o número n de lançamentos efectuados; o leitor obterá então um ganho de €2^n. Contudo, para o leitor poder jogar este jogo, deverá previamente efectuar um aposta monetária. Quanto estaria disposto a apostar (mantenha esse valor presente até ao final desta discussão)? A probabilidade de sair F na primeira jogada é de 1/2, na segunda jogada de 1/4, na terceira de 1/8, na quarta de 1/16, e assim sucessivamente. Por outro lado, o ganho que obteria se saísse F na primeira jogada seria de €2, na segunda jogada de €4, na terceira de €8, na quarta de €16, e assim por aí em diante. Juntado tudo, teria, pois, uma utilidade esperada de (1/2)×2+(1/4)×4+(1/8)*8+(1/16)×16+…=oo. Ou seja, o jogo proposto por Bernoulli possuía uma utilidade esperada infinita, e daí o paradoxo. O leitor, mais atrás, pensou de alguma forma em apostar neste jogo uma soma infinita de dinheiro?
Seja como for, o tópico que nos leva a escrever estas linhas só lateralmente tem que ver com estas questões. O importante será agora notar a proposta de Bernoulli para a resolução do paradoxo. O facto de nenhum se humano estar disposto a apostar essa soma monetária para participar no jogo poder-se-ia dever ao facto de a utilidade subjectiva do dinheiro não se encontrar linearmente relacionada com esse último. Isto é, e de forma simples, a função psicofísica que relaciona o valor objectivo do dinheiro com a utilidade subjectiva que lhe atribuímos não possui uma forma linear. Mais que isso, Bernoulli sugere que a utilidade subjectiva adicionada por um qualquer incremento é tanto menor quanto maior for a quantidade de dinheiro em causa. Note o leitor a similaridade deste argumento com aqueles enquadrados nas nossas discussões prévias acerca das leis de Weber e Fechner (aliás, a formalização matemática dos argumentos é rigorosamente igual, mas pouparemos ao leitor uma explanação exaustiva). Obviamente, Bernoulli conclui que esta função deveria ter uma forma logarítmica. Uma vez mais, o leitor poderá intuitivamente constatar este facto: se perder uma nota de €5, isso custar-lhe-á mais se o seu saldo bancário for de €20 do que se for, digamos, de €5000; se, ao comprar um automóvel lhe for sugerido que por mais uma “pequena” quantia poderá optar pelo modelo com leitor de CDs, certamente o leitor estará mais interessado em aceitar a proposta do que, dispondo já de um automóvel, lhe ser proposto comprar o mesmo leitor de CDs à parte exactamente pela mesma “pequena” quantia (note que o efeito tem que ver com o facto do adjectivo “pequena” ser aqui relativo face às somas totais envolvidas, mas esse não era já o ponto central da lei de Weber?).
Obviamente, Bernoulli não foi o único teórico a reflectir sobre este assunto. Uma segunda proposta, que ironicamente apenas conhecemos porque Bernoulli teve a delicadeza de incluir uma nota de rodapé acerca da mesma, terá sido apresentada por Cramer. Este sugeriu que a utilidade subjectiva adicionada por um qualquer incremento é tanto menor quanto maior for a utilidade total do dinheiro em causa (o leitor é convidado a, pacientemente, contrapor esta suposição com a de Bernoulli e notar que enquanto para este os incrementos de utilidade se faziam em função do valor objectivo do dinheiro, para Cramer seriam função do valor subjectivo de base). Estas assunções, levaram Cramer a decidir-se por uma função de potência, mais propriamente, a postular que a utilidade subjectiva seria igual à raiz quadrada do valor monetário objectivo ou, para evidenciar a função de potência subjacente (em que U representa a Utilidade Subjectiva, € o valor monetário objectivo e k uma constante que define a escala de medida da utilidade):
Tanto Bernoulli como Cramer possuíam esquemas conceptuais interessantes, mas sendo essencialmente teóricos, nunca se preocuparam com testes empíricos dos seus pressupostos. Sabemos hoje que, graças a algumas experiências levadas a cabo por cientistas (entre os quais referimos Galanter e Stevens), a função proposta por Cramer deveria ter sido aceite em detrimento da de Bernoulli. Mas este não foi o primeiro nem seria o último caso na história da ciência, em geral, nem da Psicofísica, em particular, de uma teoria, conceptualmente mais aproximada do real funcionamento dos fenómenos que pretende explicar, ignorada durante largos períodos de tempo. E, aliás, nos próximos artigos teremos a possibilidade de apresentar ao leitor mais alguns exemplos históricos em que um função psicofísica de potência é sugerida, sem sucesso face à generalizada aceitação da Lei de Fechner.
Esta ainda não será a oportunidade adequada para nos embrenharmos nas áreas, teorias e fundamentos acerca da decisão humana. Mas, por forma a facilitar a exposição de ideias, valerá a pena referir que o estudo dos processos de decisão humana preocupam os teóricos desde há vários séculos, com particular destaque para a sua relação com as actividades lúdicas de risco, leia-se, os “jogos de azar” que tantos pensadores parece ter atraído (um pequeno aparte, a vulgar sanduíche deve o seu nome a Earl de Sandwich que, tanto quanto se sabe, inventa essa refeição para poder alimentar-se sem deixar a mesa de jogo, qual entusiasta jogador). Há já algum tempo antes que Blaise Pascal havia constatado que o “valor” de um jogo equivaleria, obviamente, ao seu ganho esperado ou, para introduzir a terminologia adequada, a sua “utilidade esperada”. Isto é, assuma o leitor que pretende entrar num qualquer jogo em que, digamos, por jogada tem 10% de probabilidade de ganhar €20. Assuma que, por momentos esta seria a sua actividade para o resto da eternidade e que, portanto, se dedicaria a este simples jogo durante um tempo infinito. Qual seria a média dos ganhos que obteria? Sem entrar em pormenores, bastará de momento notar que 10% de €20 é €2 (0.1×20=2), ou seja, €2 seria essa média e, logo, a utilidade esperada deste jogo. Para ir um pouco mais longe, um jogador “racional” não deveria estar disposto a apostar mais de €2 euros para jogar este jogo e, mais que isso, ser-lhe-ia indiferente o resultado do jogo caso apostasse, de facto, esse valor (um pequeno exercício: sabendo que a probabilidade de cerca de, com uma aposta, acertar nos 6 números sorteados do totoloto é de (10×10^-11), e assumindo que o primeiro prémio é de €900000, a utilidade esperada é de cerca de €(9×10^-5). Note que uma grande percentagem de portugueses está disposta a apostar €0.8 para participar no jogo. Obviamente que a entidade organizadora deseja ter uma margem de lucro, mas esse não foi o objectivo deste aparte).
Posto isto, voltemos então a Bernoulli, mais conhecido pelo seu Paradoxo de São-Petersburgo (por ter sido apresentado numa comunicação nessa cidade): Imagine o leitor que lhe propomos o seguinte jogo – uma moeda corrente de €1 é lançada sucessivamente ao ar, podendo o resultado do lançamento ser Face (F; esta nomenclatura permitir-nos-á evitar o termo “Cara” e, logo, repetir a letra C) ou Coroa (C); os lançamentos serão repetidos até que saia, pela primeira vez F, altura na qual contaremos o número n de lançamentos efectuados; o leitor obterá então um ganho de €2^n. Contudo, para o leitor poder jogar este jogo, deverá previamente efectuar um aposta monetária. Quanto estaria disposto a apostar (mantenha esse valor presente até ao final desta discussão)? A probabilidade de sair F na primeira jogada é de 1/2, na segunda jogada de 1/4, na terceira de 1/8, na quarta de 1/16, e assim sucessivamente. Por outro lado, o ganho que obteria se saísse F na primeira jogada seria de €2, na segunda jogada de €4, na terceira de €8, na quarta de €16, e assim por aí em diante. Juntado tudo, teria, pois, uma utilidade esperada de (1/2)×2+(1/4)×4+(1/8)*8+(1/16)×16+…=oo. Ou seja, o jogo proposto por Bernoulli possuía uma utilidade esperada infinita, e daí o paradoxo. O leitor, mais atrás, pensou de alguma forma em apostar neste jogo uma soma infinita de dinheiro?
Seja como for, o tópico que nos leva a escrever estas linhas só lateralmente tem que ver com estas questões. O importante será agora notar a proposta de Bernoulli para a resolução do paradoxo. O facto de nenhum se humano estar disposto a apostar essa soma monetária para participar no jogo poder-se-ia dever ao facto de a utilidade subjectiva do dinheiro não se encontrar linearmente relacionada com esse último. Isto é, e de forma simples, a função psicofísica que relaciona o valor objectivo do dinheiro com a utilidade subjectiva que lhe atribuímos não possui uma forma linear. Mais que isso, Bernoulli sugere que a utilidade subjectiva adicionada por um qualquer incremento é tanto menor quanto maior for a quantidade de dinheiro em causa. Note o leitor a similaridade deste argumento com aqueles enquadrados nas nossas discussões prévias acerca das leis de Weber e Fechner (aliás, a formalização matemática dos argumentos é rigorosamente igual, mas pouparemos ao leitor uma explanação exaustiva). Obviamente, Bernoulli conclui que esta função deveria ter uma forma logarítmica. Uma vez mais, o leitor poderá intuitivamente constatar este facto: se perder uma nota de €5, isso custar-lhe-á mais se o seu saldo bancário for de €20 do que se for, digamos, de €5000; se, ao comprar um automóvel lhe for sugerido que por mais uma “pequena” quantia poderá optar pelo modelo com leitor de CDs, certamente o leitor estará mais interessado em aceitar a proposta do que, dispondo já de um automóvel, lhe ser proposto comprar o mesmo leitor de CDs à parte exactamente pela mesma “pequena” quantia (note que o efeito tem que ver com o facto do adjectivo “pequena” ser aqui relativo face às somas totais envolvidas, mas esse não era já o ponto central da lei de Weber?).
Obviamente, Bernoulli não foi o único teórico a reflectir sobre este assunto. Uma segunda proposta, que ironicamente apenas conhecemos porque Bernoulli teve a delicadeza de incluir uma nota de rodapé acerca da mesma, terá sido apresentada por Cramer. Este sugeriu que a utilidade subjectiva adicionada por um qualquer incremento é tanto menor quanto maior for a utilidade total do dinheiro em causa (o leitor é convidado a, pacientemente, contrapor esta suposição com a de Bernoulli e notar que enquanto para este os incrementos de utilidade se faziam em função do valor objectivo do dinheiro, para Cramer seriam função do valor subjectivo de base). Estas assunções, levaram Cramer a decidir-se por uma função de potência, mais propriamente, a postular que a utilidade subjectiva seria igual à raiz quadrada do valor monetário objectivo ou, para evidenciar a função de potência subjacente (em que U representa a Utilidade Subjectiva, € o valor monetário objectivo e k uma constante que define a escala de medida da utilidade):
Tanto Bernoulli como Cramer possuíam esquemas conceptuais interessantes, mas sendo essencialmente teóricos, nunca se preocuparam com testes empíricos dos seus pressupostos. Sabemos hoje que, graças a algumas experiências levadas a cabo por cientistas (entre os quais referimos Galanter e Stevens), a função proposta por Cramer deveria ter sido aceite em detrimento da de Bernoulli. Mas este não foi o primeiro nem seria o último caso na história da ciência, em geral, nem da Psicofísica, em particular, de uma teoria, conceptualmente mais aproximada do real funcionamento dos fenómenos que pretende explicar, ignorada durante largos períodos de tempo. E, aliás, nos próximos artigos teremos a possibilidade de apresentar ao leitor mais alguns exemplos históricos em que um função psicofísica de potência é sugerida, sem sucesso face à generalizada aceitação da Lei de Fechner.
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