Teoria Representacional da Medida e o Problema da Representação

O problema da representação, em Teoria da Medida, diz respeito a questão de averiguar até que ponto as representações numéricas e formais resultantes da operação de medida traduzem, de forma isomórfica, as propriedades a serem mensuradas. Obviamente, o uso dos números nas formulações primitivas de medida não se faziam de forma independente dos objectos mensurados e, logo, esta questão via-se resolvida quase de imediato. Veja-se a questão da contagem de bens: a expressão 2+3 só faria sentido no contexto da contagem de objectos específicos (e.g., maçãs ou peras) e não enquanto entidade formal por si mesma, isolada do mundo. Trivialmente, porém, nos termos da lógica moderna, existe uma aritmética de números e não de objectos específicos (aritmética de maçãs ou aritmética de peras), sendo então, o primeiro problema fundamental da medida mostrar que as representações numéricas e respectivas propriedades aritméticas podem constituir isomorfismos significativos de operações físicas e reais. Claramente, na contagem de bens, tal não levanta qualquer dificuldade. Mas nem sempre é assim. Neste sentido, torna-se útil formalizar devidamente esta questão.

Conforme o explicitam Suppes & Zinnes (1967), podemos reformular problema da representação como “Caracterizar as propriedades formais das operações empíricas e relações usadas no procedimento [de medida] e mostrar que essas são isomórficas de operações e relações numéricas convenientemente escolhidas” (tradução nossa).

Assim, o problema da representação pode ser explicitado de forma mais precisa por recurso à noção de Tarski de Sistema Relacional, i.e., uma sequência finita da forma


em que A é um conjunto não vazio de objectos, o domínio do sistema, e R1,…Rn relações em A. Por exemplo, se R1,…Rn constituírem relações binárias (Por exemplo, ≥, ≤, >, <, =) temos que algumas das suas propriedades poderão ser (O leitor poderá intuitivamente compreender a maioria destas relações, aqui formalizadas, se tomar, por exemplo, R(x,y) como x ≥ y.): -Relação transitiva: Se R(x,y) e R(y,z) então R(x,z), para todo o x, y e z pertencentes ao domínio;

-Relação intransitiva: Se R(x,y) e R(y,z) então não R(x,z), para todo o x, y e z pertencentes ao domínio;

-Relação simétrica: Sse R(x,y) então R(y,x), para todo o x e y pertencentes ao domínio;

-Relação assimétrica: Sse R(x,y) então não R(y,x), para todo o x e y pertencentes ao domínio;

-Relação antissimétrica: Se R(x,y) e R(y,x) então x=y, para todo o x e y pertencentes ao domínio;

-Relação reflexiva: Sse R(x,x), para todo o x pertencente ao domínio;

-Relação irreflexiva: Sse não R(x,x), para todo o x pertencente ao domínio;

-Relação Fortemente Conectada: Sse R(x,y) ou R(y,x), para todo x e y pertencentes ao domínio;

-Relação Conectada: Sse R(x,y) ou R(y,x), para todo x e y pertencentes ao domínio e com x≠y;


Impõe-se, então, uma distinção entre sistemas relacionais numéricos – a representação resultante da medida – e sistemas relacionais empíricos – referentes aos objectos a serem medidos. Por exemplo, enquanto sistema relacional numérico podemos ter

isto é, um sistema no qual o domínio corresponde ao conjunto dos números reais e < à relação numérica “menor que”. Da mesma forma, enquanto sistema relacional empírico podemos ter
em que A corresponde à colecção de objectos a medir e à relação empírica “menor que”. Exemplificando, se A constituir um conjunto de objectos cuja massa pretendemos medir, referir se á à constatação “menos pesado que”. Mostrar que estes dois sistemas possuem propriedades isomórficas é, de facto resolver o problema da representação.