Para além da distinção de Campbell, entre medida fundamental e derivada, e, para todos os efeitos, prévia a essa, esse mesmo autor distingue entre propriedades extensivas – referentes a quantidades – e intensivas – referentes a qualidades. Na verdade, a questão da medida fundamental ou derivada apenas se colocaria para contínuos extensivas, sendo que à Psicologia caberia, necessariamente, a limitada medida de propriedades intensivas. Além disso, de acordo com Campbell, medir significaria, necessariamente, obter uma escala pelo menos intervalar. Campbell, devemos aqui frisá lo, assumia, errónea e implicitamente, que as propriedades relacionais numéricas resultantes da operação de medida descreviam verdadeiramente os objectos medidos propriamente ditos, e não somente a estrutura das variáveis quantificadas. Em grande parte, tal devia se à ênfase que colocava na importância da operação de concatenação e seu isomorfismo aditivo. Aliás, este ponto seria tão rígido que Campbell não demorou a afirmar a ineficácia da medida da temperatura – pois “não existe qualquer operação física de adição para a temperatura” – e a considerar que a medida desta na física pouco mais era que um procedimento arbitrário não fundamentalmente distinto da medida de dureza na mineralogia. Antes de aprofundarmos o porquê da importância atribuída à concatenação, convém esclarecer aqui o conceito. No essencial, concatenar refere se a uma qualquer operação física que, no contexto do atributo a ser medido, permite a combinação de quantidades. Por exemplo, na medição da massa, e porque, conforme verificámos atrás, esta requer uma estrutura empírica de ordenação das intensidades (e.g., pela verificação que x é mais pesado ou tão pesado que y), poderá o leitor assumir que se recorra a uma comum balança de pratos (sem indicador calibrado). Nessa situação, concatenar significa muito simplesmente colocar o objecto x e y no mesmo prato, de tal forma a combinar as suas magnitudes de massa. Ainda outro exemplo, na medida de comprimentos, e assumindo que se recorrerá a um qualquer comprimento referencial (e.g., palmo), concatenar significaria pura e simplesmente encostar um palmo ao anterior, de tal forma que os seus comprimentos combinados igualassem a soma de cada um desses.
Findas estas considerações preliminares, apresentamos agora ao leitor uma formalização de um sistema de medida extensivo. Neste verificaremos como a operação de concatenação assume um papel primordial, justificando a posição de Campbell.
Definição. Um sistema extensivo (A,R,○) é um sistema relacional consistindo na relação binária R, na operação binária ○ de A×A para A, e satisfazendo os seguintes axiomas para a, b e c em A:
Axioma A. Se aRb e bRc, então aRc;
Axioma B. [(a○b)○c]R[a○(b○c)];
Axioma C. Se aRb, então (a○c)R(c○b);
Axioma D. Se não aRb, então existe um c em A tal que aR(b○c) e (b○c)Ra;
Axioma E. Não (a○b)Ra;
Axioma F. Se aRb, então existe um número n tal que bRna em que na é definido recursivamente como: 1a=a e na=(n-1)a○a.
O leitor que quiser concretizar este sistema poderá tomar como exemplo a medida do peso, em que ○ se refere à já familiar operação de concatenação, R à constatação “mais pesado ou igual que” e a, b e c objectos a pesar pertencentes à colecção A. O primeiro axioma refere se simplesmente à transitividade dos pesos (se a é mais pesado que b e b mais pesado que c, então a será mais pesado que c). O axioma B estabelece a associatividade da operação de concatenação (simplesmente, postula que o resultado empírico da operação de concatenação é invariante face à ordem com que é efectuada – juntar a e b e só depois c ou c e b e só depois a ou ainda qualquer outra). O terceiro axioma é claro por si mesmo, estabelecendo que se a é mais pesado que b, essa relação manter se á se a cada um destes juntarmos c. O quarto axioma, que requer uma definição de A como conjunto infinito, postula que para qualquer dois objectos em que a relação “maior ou igual que” não se verifique deverá existir um terceiro objecto na qual essa seja observável. O axioma E obriga a que a medida seja sempre positiva. Por fim, o último axioma constitui simplesmente a chamada condição arquimediana – postula esta que não interessa quão mais pesado a é que b que existe sempre um número positivo de concatenações de b consigo mesmo que invertam essa relação (em suma, não existem pesos infinitamente grandes).
Posto isto, é possível provar os seguintes teoremas:
Teorema da Representação. Se um sistema relacional Q=(A,R,○) é um sistema extensivo, então Q/I=(A/I,R*,○*) é isomórfico a um sistema numérico extensivo.
Teorema da Unicidade. Se um sistema relacional Q=(A,R,○) é um sistema extensivo, então quaisquer dois sistemas numéricos extensivos isomórficos a Q/I=(A/I,R*,○*) relacionam se por uma transformação de semelhança (escalas de razão).
A questão, do ponto de vista da Psicologia, e até porque um sistema extensivo se revela mais interessante para a Física, passaria, então, pela questão da necessidade de concatenação para alcançar uma medida significativa, pois é óbvia a inexistência “real” de tal operação em qualquer atributo psicológico. Por outras palavras, e na concepção estrita de Campbell, uma operação significativa de medida em Psicologia ver se ia desde logo impossibilitada pela inexistência de uma operação de concatenação dos atributos psicológicos. Recordar se á certamente o leitor que na teoria de Fechner, a medida sensorial se estabelecia, a rigor, pela concatenação de JNDs. Contudo, o problema é que, para tal, dever se ia assumir, arbitrariamente, que os JNDs possuíam igual magnitude. Seria esta arbitrariedade a principal dificuldade na obtenção de uma medida extensiva da sensação.
Conforme veremos no próximo artigo, a posição de Campbell veio estimular um interesse académico crescente pelo estatuto da medida na ciência e, especialmente, em Psicologia, no âmbito de uma discussão no cerne da qual estaria a própria necessidade (ou não) de uma operação de concatenação.
Findas estas considerações preliminares, apresentamos agora ao leitor uma formalização de um sistema de medida extensivo. Neste verificaremos como a operação de concatenação assume um papel primordial, justificando a posição de Campbell.
Definição. Um sistema extensivo (A,R,○) é um sistema relacional consistindo na relação binária R, na operação binária ○ de A×A para A, e satisfazendo os seguintes axiomas para a, b e c em A:
Axioma A. Se aRb e bRc, então aRc;
Axioma B. [(a○b)○c]R[a○(b○c)];
Axioma C. Se aRb, então (a○c)R(c○b);
Axioma D. Se não aRb, então existe um c em A tal que aR(b○c) e (b○c)Ra;
Axioma E. Não (a○b)Ra;
Axioma F. Se aRb, então existe um número n tal que bRna em que na é definido recursivamente como: 1a=a e na=(n-1)a○a.
O leitor que quiser concretizar este sistema poderá tomar como exemplo a medida do peso, em que ○ se refere à já familiar operação de concatenação, R à constatação “mais pesado ou igual que” e a, b e c objectos a pesar pertencentes à colecção A. O primeiro axioma refere se simplesmente à transitividade dos pesos (se a é mais pesado que b e b mais pesado que c, então a será mais pesado que c). O axioma B estabelece a associatividade da operação de concatenação (simplesmente, postula que o resultado empírico da operação de concatenação é invariante face à ordem com que é efectuada – juntar a e b e só depois c ou c e b e só depois a ou ainda qualquer outra). O terceiro axioma é claro por si mesmo, estabelecendo que se a é mais pesado que b, essa relação manter se á se a cada um destes juntarmos c. O quarto axioma, que requer uma definição de A como conjunto infinito, postula que para qualquer dois objectos em que a relação “maior ou igual que” não se verifique deverá existir um terceiro objecto na qual essa seja observável. O axioma E obriga a que a medida seja sempre positiva. Por fim, o último axioma constitui simplesmente a chamada condição arquimediana – postula esta que não interessa quão mais pesado a é que b que existe sempre um número positivo de concatenações de b consigo mesmo que invertam essa relação (em suma, não existem pesos infinitamente grandes).
Posto isto, é possível provar os seguintes teoremas:
Teorema da Representação. Se um sistema relacional Q=(A,R,○) é um sistema extensivo, então Q/I=(A/I,R*,○*) é isomórfico a um sistema numérico extensivo.
Teorema da Unicidade. Se um sistema relacional Q=(A,R,○) é um sistema extensivo, então quaisquer dois sistemas numéricos extensivos isomórficos a Q/I=(A/I,R*,○*) relacionam se por uma transformação de semelhança (escalas de razão).
A questão, do ponto de vista da Psicologia, e até porque um sistema extensivo se revela mais interessante para a Física, passaria, então, pela questão da necessidade de concatenação para alcançar uma medida significativa, pois é óbvia a inexistência “real” de tal operação em qualquer atributo psicológico. Por outras palavras, e na concepção estrita de Campbell, uma operação significativa de medida em Psicologia ver se ia desde logo impossibilitada pela inexistência de uma operação de concatenação dos atributos psicológicos. Recordar se á certamente o leitor que na teoria de Fechner, a medida sensorial se estabelecia, a rigor, pela concatenação de JNDs. Contudo, o problema é que, para tal, dever se ia assumir, arbitrariamente, que os JNDs possuíam igual magnitude. Seria esta arbitrariedade a principal dificuldade na obtenção de uma medida extensiva da sensação.
Conforme veremos no próximo artigo, a posição de Campbell veio estimular um interesse académico crescente pelo estatuto da medida na ciência e, especialmente, em Psicologia, no âmbito de uma discussão no cerne da qual estaria a própria necessidade (ou não) de uma operação de concatenação.
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