Da Teoria Representacional da Medida

Podemos tomar como marco de referência no estudo axiomático da medida o trabalho elaborado por Hölder em 1901, apesar de só algumas décadas depois se falar em Teoria da Medida, propriamente dita, encabeçada pela Teoria Representacional. Com efeito, o trabalho de Hölder vem esclarecer o estatuto da medida do peso, mostrando que, de um ponto de vista axiomático (e aqui simplificado), a medida dessa grandeza física requeria a satisfação de dois axiomas. A saber,


(a medida de x deverá ser maior ou igual que a medida de y se e só se o objecto x for mais pesado ou igual que o objecto y);


(a medida do conjunto dos objectos x e y – que, então, se dizem concatenados – deverá ser igual à soma das medidas de cada um deles)


Importa notar aqui que, no axioma 2, a operação de concatenação (o), uma operação física, é isomórfica (i.e., possui as mesmas propriedades formais) que a operação matemática de adição (+). De facto, seria com base na presença ou possibilidade de concatenação que Campbell viria a distinguir entre medida fundamental – na qual os objectos físicos a medir permitem a concatenação (e.g., peso, comprimento) – e medida derivada – baseada numa qualquer lei que relacione medidas fundamentais (e.g., densidade, obtida a partir do volume e massa de um objecto). Mais que isso, Campbell argumentava que a Psicologia, por não dispor de operações físicas de concatenação, nunca poderia esperar alcançar uma medida fundamental e, logo e por definição, uma medida derivada.

Actualmente, por “medir” entende-se, de facto, a atribuição de números a objectos ou seus atributos de tal forma a representar suas propriedades e relações. Este ponto assume especial relevância no sentido em que explicita a ligação epistemológica entre a “realidade” e a representação numérica. Obviamente, a questão que então se coloca prende se com o estatuto dessa representação numérica, i.e., quantas, quais e que relação se estabelece entre diferentes representações numéricas. Por fim, poderá o leitor questionar-se acerca do significado dessa representação numérica, de certa forma uma inversão do primeiro problema – agora a questão é entre a representação e a “realidade”.

Nestas breves linhas esboçámos, com efeito, os principais pontos demarcadores da chamada Teoria Representacional da Medida. Melhor, os problemas fundamentais a resolver numa qualquer medida, tal como entendidos por essa perspectiva e formalizados pela mesma. A saber, temos (i) o problema da representação – que sistema axiomático subjaz à atribuição de números ou representações numéricas ao objecto de medida? –, (ii) o problema da unicidade – ponto fulcral na Teoria das Escalas; que relação existe entre diferentes medidas dos mesmos objectos ou, de outra forma, quão invariantes são as medidas obtidas? – e (iii) problema do significado – que estatuto epistemológico emerge da representação ou medida?

Cada um destes problemas será tratado, de futuro, em artigos separados. Porém, e antes de mais, impõe-se aqui uma importante consideração. A Teoria da Medida, por si mesma, e centrada nos problemas que iremos expor, não especifica, por si só, como alcançar as representações numéricas, mas tão somente esclarece acerca da sua possibilidade e estatuto da escala obtida. Isto é, a Teoria Representacional da Medida permite-nos concluir se num dado sistema métrico com determinadas características é ou não possível obter uma medição e, no caso afirmativo, que tipo de medida daí resulta. Contudo, não fornece qualquer indicação acerca de que forma deverá ser obtida tal medição. É, com efeito, aqui que reside a distinção entre teorias da medida e teorias dos dados –estas últimas lidam directa e explicitamente com a própria pragmática de quantificação.

Introdução à Teoria da Medida

Poderíamos aqui realçar o quanto a ideia e concepção de medida se tem desenvolvido, inexoravalmente, a par com conceitos centrais dos fundamentos da matemática (por exemplo, a questão da formalização dos números enquanto entidades matemáticas; a questão da incomensurabilidade dos números irracionais; a construção do contínuo de números reais, com especial uma especial referência para o axioma da continuidade de Dedekind). Tanto assim é que, quase desde início, a fundamentação das ciência empíricas e naturais tem assentado nessas noções, sob a forma daquilo a que frequente nos referimos como o “Imperativo Quantitativo”.

Da mesma forma, a Psicologia, especialmente se tomarmos como início o trabalho de Fechner, parece ter nascido naquele contexto científico onde, talvez, o “Imperativo Quantitativo” mais se fez sentir na história do pensamento ocidental. Senão vejamos, em finais do século XIX (recordamos que Fechner publica a sua obra “Elementos de Psicofísica” em 1860), a comunidade científica actuava sob a sombra do sucesso das concepções de Newton acerca da Mecânica Celeste. Tanto que o Homem cientista de então acreditava que seria a Matemática, pelo “Imperativo Quantitativo”, a ferramenta de excelência para a compreensão global dos fenómenos mundanos, numa postura de apreensão do mundo claramente determinista. Com efeito, não demorou muito até que o sucesso alcançado no estudo da mecânica celeste fosse generalizado para outros fenómenos físicos, como electricidade, magnetismo e calor.

Uma compreensão da medida em Psicologia, num contexto epistemológico, passa necessariamente pela compreensão destes aspectos. Ou não fosse neste que Fechner elaboraria toda a sua concepção da Psicofísica, com uma clara concepção da medida herdada da noção de aditividade de magnitudes da Física (conforme já tivemos oportunidade de referir quando expusemos os pressupostos fundamentais da Psicofísica Fechneriana).

Uma série de outros autores posteriores a Fechner, e que de uma forma ou de outra prosseguiram trabalhos no mesmo sentido – Medida Psicológica –, como, por exemplo, Wundt, Titchener, Donders, Ebbinghaus, Galton, Spearman – poderiam ser aqui referidos com algum pormenor. No entanto, o ponto geral a notar aqui é que todas essas concepções e esforços de medida se mantiveram mais ou menos restritos à área específica de actuação e, para todos os efeitos, ignoradas pela comunidade científica no global ou mesmo severamente criticada na sua cientificidade (recordamos que só mais tarde o problema da delimitação científica se vê devidamente trabalhado pela Filosofia da Ciência). De resto, em fracções menos informadas, esta visão permanece nalguns focos de actividade.

De qualquer forma, um evento importante na história e compreensão do estatuto epistemológico da medida em Psicologia tem que ver com o chamado “Inquérito Britânico”, para todos os efeitos o principal “motor” da concepção teórica moderna da medida, em geral.

Em poucas palavras, e praticamente na sequência dos trabalhos de Stevens, é organizado pela Associação Britânica para o Avanço da Ciência um inquérito acerca do estatuto de medida em Psicologia. Tal deveu se a alguma suspeita do real estatuto dos trabalhos de Stevens enquanto medida, no sentido forte do termo. Poderá o leitor questionar se porquê só em meados do século XX a questão ter recebido esta atenção, e não antes, na sequência do trabalho de Fechner. Só nos é possível especular a este respeito, mas estamos em crer que, por um lado, a formulação Fechneriana sempre assentou em assunções a priori acerca do contínuo subjectivo de sensação, sem qualquer menção a um tratamento “real” do mesmo. Pelo contrário, e conforme temos vindo a verificar, Stevens, enquanto operacionalista, assume as respostas numéricas dos sujeitos a determinadas intensidades de estimulação como meio priveligiado para inferir as sensações subjacentes e, logo, trata as como se de um contínuo físico se tratasse, ou melhor, com um estatuto semelhante às informações lidas num qualquer instrumento de medida. Por outro lado, o trabalho de Fechner só parcialmente e em meios restritos foi prosseguido, tendo se mantido, na história da ciência, como mera curiosidade histórica ou como factor de influência da fisiologia no desenvolvimento da Psicologia. Contrariamente, a elaboração paradigmática de Stevens preocupou se, quase de início, e de forma directa e explícita, com a respectiva aplicação prática e tecnológica, o que culmina numa maior divulgação dos seus esforços.

Seja como for, o “Inquérito Britânico” parece ter sido conduzido, essencialmente, entre duas perspectivas opostas. A saber, por uma lado, aquela encabeçada por Campbell, fundamentada nos trabalhos de Helmholtz – acerca da base axiomática da medida – e Hölder – cujo trabalho esclareceu o estatuto da medida do peso, numa lógica axiomática. Por outro, a posição de Stevens, na sua concepção de medida enquanto operação de correspondência entre números e atributos ou objectos, que centra a sua atenção na chamada teoria das escalas de medida defendendo a possibilidade de uma medição significativa de variáveis psicológicas.

Ironicamente, as formulações de Campbell acabam por desempenhar um papel central na Teoria Representacional da Medida (refira-se, uma das mais nucleares áreas da Psicologia Matemática), axiomatização dos problemas e concepções avançados por Stevens, em cujo núcleo reside a questão da necessidade ou não da operação de concatenação na medida em Psicologia.

Os próximos artigos aqui apresentados aos leitores procurarão explicitar os pontos aflorados neste nosso (necessariamente breve) trecho introdutório.

Dos Contínuos Protéticos e Metatéticos

Na lógica da nossa exposição, importará agora explicitar o estatuto das Leis de Fechner e de Stevens na formulação e delimitação teórica do próprio problema psicofísico que, recordamos, se situa na distinção entre um crescimento constante ou linear do contínuo sensorial. Conforme veremos, este ponto sobrepõe se à distinção efectuada por Stevens entre contínuos sensoriais protéticos e metatéticos.
De forma breve, um contínuo subjectivo protético é aquele para o qual uma variação da intensidade do estímulo corresponde a uma variação quantitativa ou de grau da sensação. Um exemplo clássico é a sensação de sonoridade ou a de brilho. Para estes contínuos o erro das respostas é relativo, pelo que deverá aumentar em função da magnitude da sensação, conforme postulado pela lei de Ekman. Adicionalmente, a distribuição estatística associada é aproximadamente log-normal sendo os mecanismos fisiológicos subjacentes de tipo aditivo – a intensidade da sensação aumenta à medida que mais estimulação é acrescentada. Pelo contrário, um contínuo metatético refere-se à qualidade ou localização da sensação, sendo o erro de resposta absoluto. Consequentemente, para um contínuo protético a lei de Ekman não se verifica – a variabilidade das respostas mantêm-se constante à medida que aumenta a intensidade da estimulação. O exemplo clássico é o tom do som ou a tonalidade da cor e a distribuição associada é normal. Fisiologicamente, o mecanismo associado é um de substituição (e.g., novos tons ou cores qualitativamente diferentes são percepcionados à medida que a frequência do som ou da luz reflectida variam).
A importância da distinção é imediata – a lei de Stevens, de potência, apenas se revela válida para contínuos protéticos, e daí o facto de o próprio Stevens apenas se ter debruçado sobre esses. Da mesma forma, a Lei de Fechner revela-se válida somente para contínuos metatéticos. Vemos assim assegurado um lugar teórico de ambas as formulações – Lei de Fechner e Lei de Stevens – na delimitação do problema psicofísico, sendo, recordamos, o estabelecimento do crescimento da sensação constante ou linear (respectivamente) a entidade delimitadora destes âmbitos de medida sensorial.
Porém, e como poderá o leitor antever desde já, estes constrangimentos não se colocam ao nível da medida psicofísica usada. Note-se que para qualquer contínuo sensorial, seja protético ou metatético, é pragmaticamente possível usar qualquer uma das perspectivas psicofísicas de medida – Clássica ou Moderna. É neste sentido que surge a distinção de Togerson entre escalas de intervalos iguais (métodos de psicofísica clássica) e escalas de razões iguais (métodos de psicofísica moderna). Assim sendo, deverá ser possível efectuar previsões teóricas quanto à relação entre as medidas obtidas pelos diferentes escalonamentos. Dito de outra forma, se para uma mesma modalidade sensorial se recorrer a ambas as metodologias de medida (Clássica e Moderna), e assumindo que essas resultam em escalas com propriedades métricas distintas, deverá ser possível, através das formalizações teóricas que temos vindo a elaborar em artigos prévios, prever a forma da relação entre as diferentes escalas. Por exemplo, para a percepção da intensidade do som podemos pedir aos sujeitos que forneçam respostas em conformidade com o método da estimação de magnitude e, posteriormente e para os mesmos estímulos, de acordo com a estimação de categorias (típica escala de x a y, por exemplo, de 1 a 7).
O restante do raciocínio é puramente algébrico.
Temos, pois, por um lado uma escala psicofísica de intervalos iguais (obtida por estimação de categorias, CAT)


Por outro, temos uma escala de razões iguaia (obtida por estimação de magnitude, RAZ)


Esta última pode ser reescrita na forma


Multiplicando ambos os termos por m e somando k temos que


Como agora o lado direito da equação é igual ao lado direito da equação da escala de intervalos iguais (CAT; ver acima), temos que


Por fim, dadas as fracções de Weber correspondentes às relações entre a intensidade dos estímulos e das sensações, em conformidade com o exposto em artigos prévios, podemos efectuar as substituições adequadas. Temos pois


e


sendo c a constante do crescimento da intensidade sensorial nas escalas de intervalos iguais, h a fracção de Weber para o contínuo subjectivo nas escalas de razões iguais e k a fracção de Weber para o contínuo de intensidades do estímulo. Temos então que


e logo


Em suma, a relação entre os dois tipos de medida deverá ser logarítmica e o coeficiente c/h uma constante. Ambas as previsões encontram substancial apoio empírico.
Mais que isso, essa relação logarítmica apenas emerge em contínuos protéticos. Para contínuos metatéticos a relação é linear. Isto é, uma relação logarítmica entre respostas obtidas por métodos de psicofísica clássica e métodos de psicofísica moderna constitui um segundo invariante matemático para contínuos protéticos (recordamos que o primeiro invariante consistia na relação linear entre a escala psicológica e a variância das respostas). De resto, e à semelhança do que observámos no artigo anterior, em termos empíricos a relação em causa não depende da existência de uma métrica física para os estímulos. Na imagem seguinte apresentamos a relação obtida em dados por nós recolhidos entre a estimação de categorias (com uma escala de 1 a 7) e a estimação de magnitude para 153 palavras descriptoras de dor (a dimensão medida consistia na intensidade da dor descrita).

Da Fracção de Weber para os Contínuos Subjectivos e da Lei de Ekman

Já nos referimos amplamente ao facto de a validade da Lei de Stevens implicar um equivalente à lei de Weber aplicada nos contínuos subjectivos, ou não fosse essa uma derivação lógica desta. Porém, ainda não explorámos convenientemente os testes empíricos feitos sobre a formalização, tema para o qual nos viramos neste artigo.
Recordamos que a aceitação conjunta da lei de Weber e o equivalente para o contínuo sensorial implicam uma função psicofísica de potência, na qual o expoente resulta da razão entre a fracção de Weber para o estímulo e para a sensação. Da mesma forma, quando a fracção de Weber é inferior à sua equivalente sensorial, o expoente da função resultante é inferior a 1 (função negativamente acelerada), quando é superior o expoente é maior que 1 (função positivamente acelerada) e quando essas são iguais, o expoente é de, exactamente, 1 (função linear). Então, e visto que a fracção de Weber para o contínuo subjectivo não é directamente observável, será de esperar, não obstante, que o expoente estimado pelos métodos de escalonamento directo possuam uma relação linear positiva com o recíproco da fracção de Weber. Para compreender este ponto, note o leitor que o expoente na Lei de Stevens deverá ser tanto maior quanto menor for a fracção de Weber (assumindo que a fracção equivalente para o contínuo subjectivo é uma constante, o que deverá estar assegurado se a modalidade de resposta usada for a mesma – no caso da estimação de magnitude, esta será sempre o contínuo numérico per si). Os dados que existem a este respeitam resultam de compilações de expoentes e fracções de Weber de diversos estudos, não sendo, portanto, totalmente equiparáveis (pois será difícil garantir que as condições experimentais foram rigorosamente as mesmas). Não obstante, mesmo nessas condições, a relação esperada é sistematicamente encontrada, ainda que com alguma variância inexplicada (porventura, fruto das diferentes condições experimentais). Baird (1997), por exemplo, apresenta um valor de r = 0.82 para essa correlação (para o leitor menos familiarizado com noções de correlação estatística, bastará de momento saber que o r, ou coeficiente de correlação produto-momento de Pearson, fornece uma medida de associação entre duas variáveis, sendo que um valor de 1 resulta de uma relação linear perfeita e 0 ausência de relação).
Outra forma de testar a validade da fracção de Weber no contínuo subjectivo é nos apresentada por Baird & Noma (1978). O raciocínio é o seguinte: sabemos que um expoente na função psicofísica de 1 deverá resultar da igualdade entre as fracções de Weber para o estímulo e para a sensação; uma modalidade em que o expoente da função psicofísica é, de facto, de 1 é o comprimento de linhas rectas; daqui se conclui que nessa modalidade as fracções de Weber deverão ser iguais, bastando para tal medir a fracção de Weber para o estímulo para se inferir aquela para o contínuo sensorial (será exactamente o mesmo valor). Os dados empíricos resultantes deste passo sugerem uma fracção de Weber para o contínuo subjectivo de 0.04. Munidos deste dado, e tendo conhecimento das fracções de Weber para uma série de modalidades, bem como estimativas empíricas dos expoentes da Lei de Stevens, é nos fácil efectuar uma previsão independente destes últimos. Na figura seguinte apresentamos os dados obtidos. Não sendo um ajuste perfeito (recordamos que também aqui os dados foram obtidos em situações diferenciadas), o resultado é revelador de que, pelo menos em parte, todo o raciocínio subjacente é, pelo menos em parte, válido. Apesar de tudo, também sugere que mais algumas variáveis poderão estar aqui em jogo. Num futuro próximo, quando tratarmos de temas de Psicofísica Relacional e Contextual, termos oportunidade de estudar alguns fenómenos que poderão estar subjacentes a esta variabilidade (neste contexto ainda) inexplicada.


Por fim, uma terceira abordagem ao estudo da fracção de Weber para o contínuo subjectivo tem que ver com aquela que veio a ser conhecida como a Lei de Ekman. Esta refere se ao facto de que, se um equivalente da Lei de Weber existir para o contínuo sensorial, então, as respostas de estimação de magnitude deverão possuir uma variância (ou qualquer outra medida de amplitude) tanto maior quanto maior for a intensidade do estímulo. Para compreender esta hipótese, deverá o leitor recordar se da estreita relação da fracção de Weber e os JND, por um lado, e por outro com a natureza estatística da medida dos limiares. Com efeito, nalguns casos, e conforme poderá o leitor recordar, o desvio padrão das respostas fornecia uma indicação directa dos valores dos limiares. Neste caso, o mesmo procedimento é efectuado, contudo sobre o contínuo sensorial ou de resposta, isto é, espera-se que a variância das respostas dos sujeitos seja tanto maior quanto mais intensos forem os estímulos. Existem dados exaustivos acerca da validade da Lei de Ekman numa série de pesquisas empíricas. Uma propriedade interessante desta lei é que a sua determinação não depende de todo da existência de uma métrica física para o estímulo, pelo que constitui um dos principais aspectos empíricos a ter em conta na medida directa desses estímulos (mais sobre este ponto será guardado para artigos futuros). Na imagem seguinte apresentamos alguns dados, por nós recolhidos numa pequena experiência (tema da qual está para além do tópico deste artigo) na qual se verifica a validade da Lei de Ekman. Os estímulos usados consistiam em linhas rectas, com comprimentos entre 1 cm e 10 cm, sendo que à linha com 5 cm foi atribuído o número 100 (módulo), Os sujeitos deveriam então atribuir números às restantes linhas (apresentadas aleatoriamente) de tal forma que se uma delas parecesse metade da linha com o número 100, deveriam responder 50, se parecesse ter o dobro, 200, se parecesse ter um décimo do comprimento, 10, e assim sucessivamente (estimação de magnitude). Conforme poderá o leitor constatar, a relação linear positiva entre a intensidade subjectiva de cada linha (comprimento) e a variabilidade de respostas é, por demais, óbvia e significativa. De resto, uma relação semelhante pode ser encontrada em tarefas de estimação de magnitude em estímulos sem qualquer métrica física – a última imagem deste artigo mostra uma relação semelhante obtida a partir de uma tarefa de estimação de magnitude sobre palavras descriptoras de dor, mostrando que a Lei de Ekman também se revela válida para estas e, logo, qualquer medida de intensidade efectuada no âmbito da Psicofísica Moderna.

Fundamentos de Psicofísica Moderna VII – Da Simetria das Escalas de Medida Sensorial

Na sequência das nossas discussões anteriores em torno das derivações teóricas e testes empíricos da Lei de Stevens, surge naturalmente a questão da simetria das escalas de medida sensorial. Queremos com isto referirmo-nos ao seguinte facto: Se, perante determinadas intensidades do estímulo, os sujeitos fornecem certas intensidades de resposta fazendo corresponder iguais razões nos dois domínios (na estimação de magnitude, usando o contínuo numérico como resposta), então será de esperar que resultados semelhantes sejam obtidos quando se apresentam aos sujeitos determinadas respostas prévias (por exemplo, intensidades numéricas obtidas por estimação de magnitude) sendo a tarefas desses produzir estímulos com iguais razões de magnitude. Note o leitor que a tarefa é simplesmente o inverso do que ocorria na Estimação de Magnitude: aqui, um qualquer número escolhido arbitrariamente, é associado a uma dada intensidade do estímulo; nos ensaios seguintes, perante a apresentação de determinados valores numéricos, o sujeito deverá produzir um estímulo igualmente intenso. Por exemplo, se o número de referência fosse 100 e estivesse associado à intensidade do estímulo x, perante o número 50 o sujeito deveria ajustar a intensidade sonora até que esta lhe parecesse possuir metade da intensidade do som x; e assim sucessivamente para outros valores numéricos. Com efeito, quando esta metodologia – apelidada de Produção de Magnitude – é usada, os resultados adequam-se igualmente bem a uma função de potência, não obstante, com uma particularidade. Tudo indica que na estimação de magnitude os sujeitos tenham tendência a restringir a amplitude de respostas usadas, mais do que na produção de magnitude, resultando daqui que o expoente da função psicofísica obtida por este último método tenha tendência a ser ligeiramente mais elevado que o expoente obtido por estimação de magnitude para a mesma modalidade. O leitor poderá apreciar este fenómeno na imagem que se segue para a percepção da intensidade sonora (adaptada de Gescheider, 1997).

De resto, este efeito é sistemático, tanto que é frequente que a determinação do expoente psicofísico de uma qualquer modalidade seja estimada pela média obtida pelos dois métodos, sob a hipótese de que a estimação de magnitude fornece uma estimativa do expoente por defeito e a produção de magnitude uma estimativa por excesso.