Teoria Representacional da Medida e o Problema da Unicidade

O âmbito do segundo problema fundamental da medida – o problema da unicidade – é imediato se o leitor notar que existem com frequência importantes diferenças fundamentais entre o tipo de atribuição numérica a objectos derivada de diferentes procedimentos de medida. De facto, é neste âmbito que se configura a questão do Tipo de Escala de Medida.

Um exemplo clássico é o seguinte. Tome o leitor, por exemplo, as seguintes declarações: (i) “a razão da temperatura máxima de hoje (tn) com a de ontem (tn-1) é de 1.10”; (ii) “a razão da diferença das temperaturas máximas de ontem e de hoje (tn e tn-1) com aquela entre hoje e amanhã (tn e tn+1) será de 0.95”. Em primeiro lugar, poderá o leitor notar que ambas as declarações omitem a unidade de medida usada (Celsius, Fahrenheit, Kelvin), o que faz de ambas frases algo ambíguas. Contudo, a ambiguidade da frase (i) é crítica. Senão vejamos, suponha o leitor que na declaração (i) nos referíamos a graus Fahrenheit e que tn=110 e tn-1=100. Concluiríamos, de imediato, que (i) é verdadeira. Porém, repetindo o exercício em graus Celsius – tn=43.3 e tn-1=37.8 – a razão é de 1.15 e não de 1.10, falsificando assim a frase (i). O ponto a notar é que a afirmação é desprovida de significado, pois a sua validade não é invariante consoante a medida usada. Por outro lado, suponha o leitor que na frase (ii) nos referíamos a graus Fahrenheit, tendo, como exemplo, tn-1=60, tn=79 e tn+1=99. É fácil verificar que a asserção (ii) é, desta forma, verdadeira. Contudo, convertendo os graus Fahrenheit para graus Celsius temos tn-1=15.56, tn=26.11 e tn+1=37.2. Como poderá o leitor verificar, a declaração (ii) é, assim, igualmente verdadeira, pelo que concluímos que a mesma é dotada de significado empírico. Note se que ambas as frases não possuíam, à partida, referência a unidades de medida, mas nem por isso uma delas deixou de ser válida. O ponto é que a determinação de unidades de medida e a apreciação do seu significado empírico é uma discussão que sucede, e não antecede, a investigação do significado da escala, ao contrário do que se poderia presumir à partida. De qualquer modo, o ponto a notar é que estas escalas de medida da temperatura (Fahrenheit e Celsius) apenas permitem asserções válidas para intervalos de intensidade, e não para razões. Dito de outra forma, a validade das mesmas mantém-se para transformações que preservem os intervalos, ou transformações lineares. Ainda de outra forma, a sua unicidade mantém-se somente para essas transformações.

No contexto da Teoria Representacional da Medida, o conceito de escala é nos dado por: Sendo ξ um sistema relacional empírico, λ um sistema relacional numérico e f uma função que faz corresponder ξ a um sub sistema de λ, temos que


é uma escala.
Por outro lado, recordamos, a teoria das escalas de medida terá sido avançada por Stevens, sendo que, de forma breve, o essencial da operação de medir consistiria na ideia de correspondência. Por norma, medir significa, neste contexto, fazer corresponder números a objectos de acordo com um certo conjunto de regras. Mais, as transformações posteriores que são possíveis efectuar na escala assim obtida sem perda de informação determinariam o tipo de medida ou escala alcançado, tendo Stevens distinguido os seguintes:


Neste sentido, torna se óbvio que o tipo de escala é nos dado pela relativa unicidade da função f, acima. Por exemplo, assuma o leitor que


é uma escala, tal como


Assim,


será uma escala de razão se existir uma transformação φ de semelhança tal que


em que ● se refere à composição de funções, i.e.,


O mesmo raciocínio pode, facilmente, ser generalizado para as restantes escalas.

Por fim, e retomando o nosso exemplo das temperaturas, é trivial concluir que essas escalas em particular serão do tipo intervalar (pelo menos apresentam empiricamente um comportamento compatível com estas; deixamos aqui esta nota pois, ao contrário do que frequentemente é sugerido, a determinação do tipo de escala resulta da prova de um Teorema da Unicidade, exercício apenas possível no âmbito de uma formalização axiomática do sistema de medida em causa).

Teoria Representacional da Medida e o Problema da Representação

O problema da representação, em Teoria da Medida, diz respeito a questão de averiguar até que ponto as representações numéricas e formais resultantes da operação de medida traduzem, de forma isomórfica, as propriedades a serem mensuradas. Obviamente, o uso dos números nas formulações primitivas de medida não se faziam de forma independente dos objectos mensurados e, logo, esta questão via-se resolvida quase de imediato. Veja-se a questão da contagem de bens: a expressão 2+3 só faria sentido no contexto da contagem de objectos específicos (e.g., maçãs ou peras) e não enquanto entidade formal por si mesma, isolada do mundo. Trivialmente, porém, nos termos da lógica moderna, existe uma aritmética de números e não de objectos específicos (aritmética de maçãs ou aritmética de peras), sendo então, o primeiro problema fundamental da medida mostrar que as representações numéricas e respectivas propriedades aritméticas podem constituir isomorfismos significativos de operações físicas e reais. Claramente, na contagem de bens, tal não levanta qualquer dificuldade. Mas nem sempre é assim. Neste sentido, torna-se útil formalizar devidamente esta questão.

Conforme o explicitam Suppes & Zinnes (1967), podemos reformular problema da representação como “Caracterizar as propriedades formais das operações empíricas e relações usadas no procedimento [de medida] e mostrar que essas são isomórficas de operações e relações numéricas convenientemente escolhidas” (tradução nossa).

Assim, o problema da representação pode ser explicitado de forma mais precisa por recurso à noção de Tarski de Sistema Relacional, i.e., uma sequência finita da forma


em que A é um conjunto não vazio de objectos, o domínio do sistema, e R1,…Rn relações em A. Por exemplo, se R1,…Rn constituírem relações binárias (Por exemplo, ≥, ≤, >, <, =) temos que algumas das suas propriedades poderão ser (O leitor poderá intuitivamente compreender a maioria destas relações, aqui formalizadas, se tomar, por exemplo, R(x,y) como x ≥ y.): -Relação transitiva: Se R(x,y) e R(y,z) então R(x,z), para todo o x, y e z pertencentes ao domínio;

-Relação intransitiva: Se R(x,y) e R(y,z) então não R(x,z), para todo o x, y e z pertencentes ao domínio;

-Relação simétrica: Sse R(x,y) então R(y,x), para todo o x e y pertencentes ao domínio;

-Relação assimétrica: Sse R(x,y) então não R(y,x), para todo o x e y pertencentes ao domínio;

-Relação antissimétrica: Se R(x,y) e R(y,x) então x=y, para todo o x e y pertencentes ao domínio;

-Relação reflexiva: Sse R(x,x), para todo o x pertencente ao domínio;

-Relação irreflexiva: Sse não R(x,x), para todo o x pertencente ao domínio;

-Relação Fortemente Conectada: Sse R(x,y) ou R(y,x), para todo x e y pertencentes ao domínio;

-Relação Conectada: Sse R(x,y) ou R(y,x), para todo x e y pertencentes ao domínio e com x≠y;


Impõe-se, então, uma distinção entre sistemas relacionais numéricos – a representação resultante da medida – e sistemas relacionais empíricos – referentes aos objectos a serem medidos. Por exemplo, enquanto sistema relacional numérico podemos ter

isto é, um sistema no qual o domínio corresponde ao conjunto dos números reais e < à relação numérica “menor que”. Da mesma forma, enquanto sistema relacional empírico podemos ter
em que A corresponde à colecção de objectos a medir e à relação empírica “menor que”. Exemplificando, se A constituir um conjunto de objectos cuja massa pretendemos medir, referir se á à constatação “menos pesado que”. Mostrar que estes dois sistemas possuem propriedades isomórficas é, de facto resolver o problema da representação.