Proposta inicialmente por Luce & Tukey (1964) no contexto da medida de atributos psicológicos, a Medida Conjunta, sistema axiomático de medida, vem mostrar no âmbito da teoria representacional, que a operação de concatenação, ainda que suficiente para uma medida fundamental, não se revela necessária. Apenas requerindo relações ordinais entre os objectos (observação possível em atributos psicológicos), assenta na possibilidade de tratar pelo menos duas variáveis como entidades compostas. O raciocínio subjacente é o seguinte: tomando dois componentes, cada um influenciando o atributo a ser medido, e conhecendo a sua ordem de magnitude, ambos podem ser combinados resultando numa medida efectiva dos objectos e seus componentes. Daí a designação de Medida Conjunta (sem perda de generalidade, apenas trataremos aqui o caso aditivo). Um exemplo clássico é o conforto subjectivo, determinado por diferentes combinações de humidade e temperatura.
Porque uma apresentação formal de uma estrutura aditiva conjunta, nos mesmos moldes em que expusemos o sistema relacional extensivo, requereria da nossa parte uma apresentação prévia de uma série de definições preliminares, claramente para além do nosso objectivo nesta discussão, iremos seguir uma linha da raciocínio claramente mais simplificada mas retendo com precisão as ideias fulcrais.
Tendo pois a situação P=A+B, em que P designa a variável quantitativa (e.g., e seguindo o nosso exemplo, o conforto subjectivo) e A e B os componentes independentes (e.g., temperatura e humidade, respectivamente), a medida conjunta assume que P, A e B não se encontram medidos previamente, requerendo que:
1) A variável P possua um número infinito de valores;
2) P=f(A,B), sendo f uma qualquer função matemática;
3) Existe uma ordenação simples, ≥, sobre os valores de P;
4) Os valores de A e B são identificáveis.
Definindo como “Sistema Conjunto” a situação respeitando estas quatro condições, se três outras condições, de estatuto especial,
i. Cancelamento Duplo;
ii. Solvabilidade;
iii. Condição Arquimediana
forem cumpridas, então:
• P, A e B são quantidades e
• f é uma função não interactiva.
Resta nos, pois, esclarecer convenientemente as três condições “especiais”.
Cancelamento Duplo. Basicamente, este postula que se certos pares de valores em P forem ordenados por ≥, outros também o serão automaticamente. De certa forma substitui aqui a condição de transitividade. Formalmente, tendo a, b e c pertencentes a A e x, y e z pertencentes a B, então ≥ satisfaz o cancelamento duplo sse se ay≥bx e bz≥cy então az≥cx.
Solvabilidade. Esta condição exige que A e B sejam suficientemente complexas para produzir qualquer valor de P, isto é, ≥ satisfaz a solvabilidade sse
• Para todo a e b de A e x de B, um valor y de B existe de tal forma que ax=by;
• Para todo x e y de B e a de A, um valor b de A existe de tal forma que ax=by;
Condição Arquimediana. Esta condição não difere significativamente daquela apresentada para a formalização dos sistemas relacionais extensivos, excepto no facto de se referir agora na matriz de combinações A×B, o que requer algumas definições prévias. Contudo, como esta não será central na nossa discussão e porque, para todo os efeitos, constitui um axioma meramente estrutural, não o especificaremos aqui.
De qualquer forma, dadas estas condições prévias (não explicitadas desta forma, recordamos nós), é possível provar os seguintes teoremas para a Estrutura Conjunta Aditiva:
O principal ponto a reter desta discussão tem que ver com o facto de, nas condições empíricas permitidas na Psicologia, ser possível, mesmo em termos puramente formais, uma medida pelo menos intervalar, e sem qualquer necessidade de recurso a uma operação de concatenação, contrariamente ao afirmado por Campbell. Adicionalmente, um aspecto deveras interessante prende se com o seguinte: em termos puramente abstractos, o sistema de medida extensivo, altamente frequente na Física, não é mais que um caso específico da Medida Conjunta, fruto das ciências sociais (O que não será de estranhar se notar o leitor que centrando se as ciências sociais em objectos de estudo claramente mais complexos que os sistemas físico químicos, longe de tal significar a impossibilidade do uso da linguagem matemática naquelas, traduz se tão somente na necessidade de uma matemática igualmente complexa). Senão, note o leitor que formalmente poderemos obter o mesmo resultado acima acerca dos sistemas relacionais extensivos assumindo que o mesmo contínuo é combinado consigo mesmo numa estrutura conjunta. Com efeito, esta poderia facilmente ser a definição formal de concatenação. Constitui tal facto um exemplo em como, na linguagem formal, problemas abstractos são solúveis por uma extensão e generalização de definições.
Porque uma apresentação formal de uma estrutura aditiva conjunta, nos mesmos moldes em que expusemos o sistema relacional extensivo, requereria da nossa parte uma apresentação prévia de uma série de definições preliminares, claramente para além do nosso objectivo nesta discussão, iremos seguir uma linha da raciocínio claramente mais simplificada mas retendo com precisão as ideias fulcrais.
Tendo pois a situação P=A+B, em que P designa a variável quantitativa (e.g., e seguindo o nosso exemplo, o conforto subjectivo) e A e B os componentes independentes (e.g., temperatura e humidade, respectivamente), a medida conjunta assume que P, A e B não se encontram medidos previamente, requerendo que:
1) A variável P possua um número infinito de valores;
2) P=f(A,B), sendo f uma qualquer função matemática;
3) Existe uma ordenação simples, ≥, sobre os valores de P;
4) Os valores de A e B são identificáveis.
Definindo como “Sistema Conjunto” a situação respeitando estas quatro condições, se três outras condições, de estatuto especial,
i. Cancelamento Duplo;
ii. Solvabilidade;
iii. Condição Arquimediana
forem cumpridas, então:
• P, A e B são quantidades e
• f é uma função não interactiva.
Resta nos, pois, esclarecer convenientemente as três condições “especiais”.
Cancelamento Duplo. Basicamente, este postula que se certos pares de valores em P forem ordenados por ≥, outros também o serão automaticamente. De certa forma substitui aqui a condição de transitividade. Formalmente, tendo a, b e c pertencentes a A e x, y e z pertencentes a B, então ≥ satisfaz o cancelamento duplo sse se ay≥bx e bz≥cy então az≥cx.
Solvabilidade. Esta condição exige que A e B sejam suficientemente complexas para produzir qualquer valor de P, isto é, ≥ satisfaz a solvabilidade sse
• Para todo a e b de A e x de B, um valor y de B existe de tal forma que ax=by;
• Para todo x e y de B e a de A, um valor b de A existe de tal forma que ax=by;
Condição Arquimediana. Esta condição não difere significativamente daquela apresentada para a formalização dos sistemas relacionais extensivos, excepto no facto de se referir agora na matriz de combinações A×B, o que requer algumas definições prévias. Contudo, como esta não será central na nossa discussão e porque, para todo os efeitos, constitui um axioma meramente estrutural, não o especificaremos aqui.
De qualquer forma, dadas estas condições prévias (não explicitadas desta forma, recordamos nós), é possível provar os seguintes teoremas para a Estrutura Conjunta Aditiva:
O principal ponto a reter desta discussão tem que ver com o facto de, nas condições empíricas permitidas na Psicologia, ser possível, mesmo em termos puramente formais, uma medida pelo menos intervalar, e sem qualquer necessidade de recurso a uma operação de concatenação, contrariamente ao afirmado por Campbell. Adicionalmente, um aspecto deveras interessante prende se com o seguinte: em termos puramente abstractos, o sistema de medida extensivo, altamente frequente na Física, não é mais que um caso específico da Medida Conjunta, fruto das ciências sociais (O que não será de estranhar se notar o leitor que centrando se as ciências sociais em objectos de estudo claramente mais complexos que os sistemas físico químicos, longe de tal significar a impossibilidade do uso da linguagem matemática naquelas, traduz se tão somente na necessidade de uma matemática igualmente complexa). Senão, note o leitor que formalmente poderemos obter o mesmo resultado acima acerca dos sistemas relacionais extensivos assumindo que o mesmo contínuo é combinado consigo mesmo numa estrutura conjunta. Com efeito, esta poderia facilmente ser a definição formal de concatenação. Constitui tal facto um exemplo em como, na linguagem formal, problemas abstractos são solúveis por uma extensão e generalização de definições.
